대학 물리(공학 물리) - #002: 물리학에서의 차원 분석 및 활용

물리학에서 '차원'이라는 말은 양의 물리적 성질을 나타내는 특별한 의미를 가집니다. 거리가 피트, 미터, 피덤 등의 단위로 측정되더라도 그것은 여전히 거리입니다. 우리는 이를 '길이'라는 차원을 가진다고 말합니다.

그래서 일반적으로 길이, 질량, 시간의 차원을 나타내기 위해 각각 L, M, T라는 기호를 사용합니다. 물리량의 차원을 나타내기 위해 대괄호 [ ]를 사용하는 경우가 많습니다.

예를 들어, 일반적으로 속도를 나타내는 기호는 v이고, 차원은 [v] = L/T로 표현됩니다.
다른 예로, 면적 A의 차원은 [A] = L^2입니다.

많은 상황에서 특정한 식을 유도하거나 검증해야 할 수 있습니다. 이럴 때 '차원 분석'을 사용할 수 있습니다.

차원 분석은 차원을 대수적인 양처럼 다룰 수 있다는 사실을 이용합니다.
예를 들어, 물리량은 같은 차원을 가진 경우에만 더하거나 빼는 것이 가능합니다. 또한, 방정식의 양쪽 항은 반드시 같은 차원을 가져야 합니다. 이런 간단한 규칙을 따르면, 차원 분석을 사용하여 표현식이 올바른 형태를 가지고 있는지 확인하는 데 도움이 될 수 있습니다. 방정식의 양쪽이 같은 차원을 가질 때만 관계가 올바를 수 있습니다.

예를 들어, 자동차가 정지 상태에서 시작하여 일정한 가속도 a로 움직일 때 시간 t에 대한 자동차의 위치 x에 대한 식을 유도하려고 한다고 가정해 봅시다.
차원 분석을 사용하여 이 표현식의 유효성을 확인해 봅시다.
왼쪽의 x는 길이의 차원을 가집니다. 방정식이 차원적으로 올바르려면, 오른쪽의 양도 길이의 차원을 가져야 합니다. 가속도의 차원인 L/T^2와 시간의 차원인 T를 방정식에 대입하여 차원적인 검사를 수행할 수 있습니다.

차원 분석을 사용한 더 일반적인 절차는 다음과 같은 형태의 표현식을 세우는 것입니다.

x ∝ a^n * t^m

여기서 n과 m은 결정해야 하는 지수이고, ∝ 기호는 비례성을 나타냅니다. 이 관계는 양쪽의 차원이 같을 때만 올바릅니다. 왼쪽의 차원이 길이이므로, 오른쪽의 차원도 길이여야 합니다. 가속도의 차원이 L/T^2이고 시간의 차원이 T이므로, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

(L/T^2)^n * T^m = L^1 * T^0
(L^n)*(T^(m-2n))  = L^1 * T^0

방정식의 양쪽에서 L의 지수끼리 같고, T의 지수끼리 같아야 합니다. L의 지수에서 n=1임을 바로 알 수 있습니다. T의 지수에서 m-2n=0을 얻고, n을 대입하면 m=2를 얻습니다. 원래의 표현식 x ∝ a^n * t^m으로 돌아가면, x ∝ a*t^2를 얻습니다. 이 결과는 정확한 표현식인 x = 1/2 a*t^2와 비교했을 때 상수인 1/2를 제외하고 일치합니다.

이렇게 오늘은 차원 분석이 무엇이고, 어떻게 활용될 수 있는지 배웠습니다. 사실 이 차원 분석을 잘만 이용하면, 단위가 가물가물한 물리량도 유도해서 구하실 수 있습니다. 저는 그럼 이만 여기까지 작성하고 마무리하겠습니다. 감사합니다.